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By Henri Lombardi, Claude Quitté

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On a alors e1 + e2 = e1 + e2 . Un anneau est dit connexe si tout idempotent est égal à 0 ou 1. Dans la suite nous utilisons implicitement le fait évident suivant : si l’on a un idempotent e et un élément x alors e divise x si, et seulement si, x = ex. 1 Pour tout isomorphisme λ : A → A1 × A2 , il existe un unique e ∈ A tel que 1. e est idempotent (on note son complément f = 1 − e). 2. L’homomorphisme A → A1 identifie A1 avec A/ e et avec A[1/f ]. 3. L’homomorphisme A → A2 identifie A2 avec A/ f et avec A[1/e].

12 12 14 14 17 19 20 20 22 23 24 24 26 27 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 43 43 44 44 45 51 55 Dans ce chapitre, comme dans tout l’ouvrage sauf mention expresse du contraire, les anneaux sont commutatifs et unitaires, et les homomorphismes entre anneaux respectent les 1.

Remarque. 6 page 44, les idéaux n’ont pas besoin d’être de type fini. Exemples Donnons des exemples simples d’application du principe local-global concret de base. 4) est celui où le module M dans l’énoncé est un idéal non nul d’un anneau de Dedekind. 4 On considère un module M avec deux systèmes générateurs : M = a, b = c, d . On suppose que ce module est fidèle, c’est-à-dire que son annulateur est réduit à 0, et localement monogène, c’est-à-dire qu’après chaque localisation en des monoïdes comaximaux S1 , .

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