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By Norbert Klingen

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A Brief Guide to Algebraic Number Theory

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Das Geheimnis der transzendenten Zahlen: Eine etwas andere Einführung in die Mathematik

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Diese haben den Grad f (Pi|p) = (S/Pi : k) n In A bilden die Potenzen p¯i A absteigende Ketten von Teilidealen mit f¯ A = (0). Dann gilt νPni ⊂ p¯ni und daher r i=1 Dies bedeutet r Pei i ⊂ ν −1 p¯ei i = ν −1 (0) = Ke ν = pS . i=1 r r e(Pi |p) Pi i=1 = pS | r Pei i = i=1 53 Pei i . i=1 r i=1 p¯ei i A = Daraus folgt e(Pi |p) ≤ ei . 6) ei deg p¯i = i i ei f (Pi|p) , so dass ei = e(Pi |p) folgt. ¨ b. Quadratische Zahlk¨ orper. 3. haben Sie bereits gesehen, dass√das Zerlegungsverhalten einer ungeraden Primzahl p in quadratischen Erweiterungen Q( D) damit zusammenh¨ angt, ob D im Primk¨ orper IF p ein Quadrat ist.

B) Der Kern dieses Epimorphismus ist die sog. Tr¨ agheitsgruppe IN|k (P) := {σ ∈ G(N |k) | σ(a) ≡ a mod P f¨ ur alle a ∈ S } von P. Diese hat die Ordnung eN|k (P); sie ist ein Normalteiler in der Zerlegungsgruppe DN|k (P) mit zyklischer Faktorgruppe von der Ordnung fN|k (P). Beweis: a) Die Restklassenerweiterung N |k ist eine Erweiterung endlicher K¨ orper vom Grade f = f (P|p), also k = IF q mit q = #kp = N p und N = IF qf . Frobeniusautomorphismus σq : x → xq mit q = N p; dessen Ordnung ist #G(N|k) = (N : k) = fN|k (P) = f .

7)). 2. 17). ) ¨ 3. 3. 10)). 3. S (und 1 jedes S-Ideal A) in dem endlich erzeugten R-Modul ⊕i d Rai enthalten. Da R Noethersch ist, ist dieser endlich erzeugte R-Modul ein Noetherscher Modul und alle Untermoduln, insbesondere die Ideale A, endlich erzeugt u ¨ber R, erst recht also u ¨ber S. Ein erster Zusammenhang zwischen den Idealgruppen ist die Erweiterung von Idealen, bei der man von einem R-Ideal a zum davon erzeugten S-Ideal aS u ¨bergeht. 2) Proposition: Sei R ein Dedekindring mit Quotientenk¨ orper k, K|k eine endlich separable K¨ orpererweiterung und S der ganze Abschluss von R in K.

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