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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Sei X eine affine Variet¨at. 20) also die Menge der Morphismen vom Punkt nach X. 10. Ist etwa X = Spec A f¨ ur eine endlich erzeugte, nullteilerfreie kAlgebra A, so die Menge der Morphismen von Spec k nach X gerade die Menge der Homomorphismen A → k von k-Algebren. Ein jeder solcher Homomorphismus f definiert ein maximales Ideal ker f von A. 2 einen Homomorphismus A → A/m = k. Damit stimmt die Menge der k-wertigen Punkte von Spec A gerade mit der Menge der maximalen Ideale von A u ¨berein. Dies ist auch der Grund, weswegen wir oben die Menge der maximalen Ideale einer endlich erzeugten kommutativen k-Algebra A mit (Spec A)k (k) abgek¨ urzt haben.

Wir nennen zum Beispiel AnY = Y × Spec Z[x1 , . . 11) 57 4 Affine Schemata als Z-Funktoren den n-dimensionalen affinen Raum u ¨ber Y . Der Ring der Funktionen auf AnY ist durch O(AnY ) = O(Y )[x1 , . . 12) gegeben. 13) die Faser von X u ¨ber a. 7 Stabilit¨ at unter Basiswechsel Eine Eigenschaft von Morphismen zwischen Z-Funktoren wollen wir stabil unter Basiswechsel nennen, falls mit f : X → W auch der induzierte Morphismus fY : XY → WY f¨ ur einen beliebigen Z-Funktor die Eigenschaft hat. 1 Definition In gewisser Weise verallgemeinern Z-Funktoren den Begriff eines kommutativen Ringes mit Eins, schließlich ist ein affines Schema nichts anderes als ein kommutativer Ring mit Eins.

Fn (a1 , . . 13) existieren. Regul¨ are Abbildungen sind also gerade polynomielle Abbildungen. Beweis. Seien f1 , . . , fn ∈ k[x1 , . . , xm ] Polynome. 13) gegeben. Wir m¨ ussen zeigen, daß das Bild von φ∗ : k[Z] → Y k im Koordinatenring von Y liegt. Es ist aber φ∗ f = f (f1 , . . 14) f¨ ur alle f ∈ k[Z]. Sei umgekehrt eine regul¨are Abbildung φ : Y → Z gegeben. Wir m¨ ussen Polynome f1 , . . , fn ∈ k[x1 , . . 13) finden. Nun l¨aßt sich der Homomorphismus φ∗ : k[Z] → k[Y ] von k-Algebren zu einem Homomorphismus k[y1 , .

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