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By b l van der waerden

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An Unusual Algebra

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Ringkomplettierung 47 darstellen lassen. X n= 1 annehmen dürfen. Der Wert f(v) hängt nur von der Restklasse v (modN) ab; wir können also f(v) = f(v) = ßn setzen. Nach Satz 1 ist die Zuordnung ßn --3> en ßn = v beiderseits stetig, d. h. die Umkehrung v --3> ßn ist stetig. Das bedeutet aber, daß f(v) eine stetige Funktion von v und daher auch von v ist. Damit ist Satz 2 bewiesen. Jetzt führen wir die Voraussetzung ein, daß Q ein kompletter (oder in der Terminologie von Kap. 10 perfekter) bewerteter Schiefkörper ist und beweisen S atz 3.

Die Elemente der Menge T heißen Punkte des Raumes T. Eine offene Menge, die den Punkt p enthält, heißt offene Umgebung von p. Eine beliebige Menge, die eine offene Umgebung von p umfaßt, heißt Umgebung von p und wird mit U (P) bezeichnet. Eine Untermenge T' eines topologischen Raumes T ist wieder ein topologischer Raum, wenn die Durchschnitte von T' mit den offenen Mengen von T als offene Mengen in T' bezeichnet werden. Die Eigenschaften I. und II. sind selbstverständlich wieder erfüllt. Die abgeschlossene Hülle Meiner Teilmenge M von T ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M umfassen.

Der Grundkörper ,1 sei algebraisch abgeschlossen. Dann gibt es außer den Differentialen 1. Gattung kein Differential, das Multiplum von p-l ist, d. h. es gibt kein Differential mit nur einem einfachen Pol p. 2. Unter den gleichen Voraussetzungen gibt es für jedes n > 1 ein Elementardifferential 2. Gattung w (pn), das in p einen n-fachen Pol hat. Jedes Differential, das Multiplum von p-n ist, läßt sich aus w (p2), W (p3) .... , w (p,,) und den g linear unabhängigen Differentialen 1. Gattung linear zusammensetzen.

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