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By Prof. Dr. Hans Kaiser, Prof. Dr. Rainer Mlitz, Dr. Gisela Zeilinger (auth.)

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College Algebra: building concepts and connections, Enhanced Edition

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N- dige UJLbild jedeJl UnteJlgJLuppe von «j)(H) , *> eine UnteJlgJLuppe von< H, . > < H, . 6ogaJL 8. t o(a). 6teU ein TUteJl von Wie man leicht nachrechnet, ist die Umkkehrabbildung eines Isomorphismus stets wieder ein Isomorphismus; man kann daher, falls es einen Isomorphismus von< H, . > auf< K, *> gibt, kurz sagen, < H, . > und< K,*> seien zueinander isomorph. h. durch die Operation gegebenen) Eigenschaften einer Gruppe oder Halbgruppe erhält, haben zueinander isomorphe Gruppen bzw. Halbgruppen dieselbe algebraische Struktur.

L(B) = V und b(l(B ...... {b}) V bEB; J 43 odvr. 2. L(B) = V und t i=l d. h. L6 (1 \b i EV jede endliche Menge {b1, ... ,bk}~B 6~ Ai = 0 V iE{1, ... vr. t1on von Elementen B daJu,,teilblVl; odvr. ,t au6 genau une AM:. L6 B d~,teilblVl. 3. V. =. aJt ab häng,tg • Lö~ung Al = ... = Ak = 0 hat; Wegen der Äquivalenz der Aussagen k L i =1 A. v· ' , =a-, AJ. r0 und vJ. en6~ hußen vl',,,,v k t. (-~)V. i=l Aj ' irj sind für k~ 2 die Elemente v1"",v k genau dann linear abhängig, wenn eines von ihnen als Linearkombination der übrigen darstellbar ist; im Speziellen ist also jedes System, das zwei gleiche Elemente enthält, linear abhängig.

TgJtuppe. ). Es sei vermerkt, daß die analoge Aussage für die Vereinigung im allgemeinen falsch ist, wie das Beispiel< 1, +> mit den Untergruppen U der geraden Zahlen und V der durch 3 teilbaren Zahlen zeigt. ng e. tbgttuppe. < H, . > (bzw. GJtuppe. < G, . » une. tbgJtuppe von < H, . > (bzw. UnteJtgJtuppe von < G, . lbgttuppen von< H, . > (bzw. UnteJtgttuppen von l< G, . ». tbgttuppe (bzw. UnteJtgttuppe) die von Min < H, • > (bzw. gte. tbgJtuppe (bzw. t . tbgttuppe < H, . > bzw. die Gttuppe < G, .

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