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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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An Unusual Algebra

The current booklet is predicated at the lecture given through the writer to senior students in Moscow at the twentieth of April of 1966. the excellence among the cloth of the lecture and that of the booklet is that the latter contains workouts on the finish of every part (the such a lot tough difficulties within the workouts are marked by means of an asterisk).

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3. Bevor wir zum casus irreducibilis zurückkehren, wollen wir die zuletzt gesammelten Erkenntnisse auf die Gleichung x 3 -1 = 0 anwenden. Im Bereich der reellen Zahlen ist offensichtlich XI = 1 die einzige Lösung der Gleichung. Für den Bereich der komplexen Zahlen folgt aus der Moivre'schen Formel, dass die Gleichung noch zwei weitere Lösungen haben muss: Beide liegen, wie in Bild 7 dargestellt, auf dem Einheitskreis und bilden zur positiven Halbachse einen Winkel von 2m3 beziehungsweise 4m3, so dass insgesamt ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Für dieses Ziel war es natürlich nahe liegend, nach Gemeinsamkeiten der bereits gefundenen Lösungsverfahren zu suchen. Dabei konnten im Fall der biquadratischen Gleichung sogar diverse Alternativen zu Ferraris Lösungsmethode mit einbezogen werden, die mit anderen Äquivalenzumformungen und anderen Zwischenergebnissen zu letztlich übereinstimmenden Resultaten führen 26 . Zwar garantiert der Fundamentalsatz der Algebra bei einer gegebenen Gleichung n-ten Grades die Existenz von n komplexen Lösungen, allerdings gibt er keinerlei Anhaltspunkte dafür, wie die Lösungen berechnet werden können.

Das Minimum der reellwertigen Funktion If(z)I ist daher innerhalb des Kreises zu flOden und wird dort - so ein Satz über die Extremwerte von stetigen, reellwertigen Funktionen (mehrerer Veränderlicher) - an einer Stelle angenommen, die wir mit Zo bezeichnen. Eine Entwicklung des Polynoms nach Zo besitzt die Form f( z ) = bo +bm( z-zo ),n +bm+l( z - zo) m+1 + ... +bn( z-zo r, "* wobei der Index m ~ 1 o gewählt ist, da s bm 0 ist. Außerdem können wir bo 0 annehmen, da ansonsten bereits eine Nullstelle gefunden ist.

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