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By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes variety scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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An Unusual Algebra

The current booklet relies at the lecture given through the writer to senior students in Moscow at the twentieth of April of 1966. the excellence among the cloth of the lecture and that of the ebook is that the latter comprises routines on the finish of every part (the so much tricky difficulties within the workouts are marked via an asterisk).

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Für alle x, y, z E M, für die xRy und yRz gilt, auch xRz ist; anders ausgedrückt: xRy und yRz haben stets xRz zur Folge. Beispiele: (1) Die Relation "ist kleiner als" in G ist transitiv, denn aus x < y und y < z folgt sofort x < z. Relation. (2) Die Relation "ist Teiler von" in N ist transitiv. Gilt nämlich alb und b I c, so gibt es laut Definition der Teilbarkeitsrelation natürliche Zahlen sund t mit b = sa und c = tb, woraus c = t(sa) = (ts) a folgt. Da ts als Produkt natürlicher Zahlen selbst natürlich ist, entnimmt man daraus a I c.

623 läßt bei Division durch 3 denselben Rest wie 263; in Zeichen: 623 == 263 mod 3. 623 hat dieselbe Quersumme wie 263. 4 ist kleiner als 256; in Zeichen: 4 < 256. Abraham GottheIf, Erich und Herbert haben denselben Familiennamen. 2 . Der Bruch "3 Ist quotientengleich zum Bruch 18 27' in Zei- 18 2 chen:"3 = 27' Die Gerade AB aus Abb. 10 ist parallel zur Geraden CD; in Zeichen: AB 11 CD. Die Gerade AC aus Abb. 10 ist senkrecht zur Geraden BD; in Zeichen: AC 1. BD. 2 ist Element der Menge der Primzahlen.

Aber :: E =1= 0 folgt a'd = eb', K(~). Also ist K(:) ~ K( ~), und in dersel- ben Weise zeigt man K( ~) ~ K(:); der Leser schreibe diesen Beweisteil auf! Folglich ist K( :) = K( ~). (c) Keine der Klassen ist leer, denn K(:) enthält, wie bereits unter (a) gezeigt, mindestens den Bruch : . Damit erhalten wir eine Zerlegung der Menge aller Brüche in die sogenannten "Klassen quotientengleicher Brüche", wie der Leser sicher schon erkannt hat. Jede solche Klasse heißt eine gebrochene Zahl. (2) Wir zerlegen die Menge G der ganzen Zahlen in drei Klassen o , 1 und 2 nach folgender Vorschrift: Die Klasse o enthalte genau die durch 3 teilbaren ganzen Zahlen, K 1 (bzw.

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